ベクトル 成分 表示。 線形代数I/ベクトル空間と線形写像

【基本】ベクトルの成分

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.内積( 1定義 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4 5 ) ベクトルの内積(スカラー積)と外積(ベクトル積)の成分表示 ベクトルの 内積(スカラー積とも言う)と 外積(ベクトル積とも言う)の成分表示を説明します。 この稿では文章中で ベクトルを表すときには 太字のアルファベット文字を用いることにする。 そして普通 などで表す。 この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。 .( 1 2 3 4 5応用 ) 2.( 1 2 3 4 5 ) (5)応用 前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。 また、これが成り立ては Aと Bは互いに垂直です。 .余弦定理 さらに、下図の様な三角形の各辺の長さについて が成り立つことが直ちに言えます。 すなわち となる。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.外積( 1定義 2 3 4 5 ) 2.外積(ベクトル積) 外積についても、内積と同様な手順で説明できます。 このき、そのベクトルの方向が Aから Bに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を で表し、 Bから Aに向かって右ネジを回すとき、ネジの進む方向と同じである場合を で表すことにする。 つまり演算の順序が異なると、その結果を表すベクトルの方向は逆転する。 この稿では、最も簡単な左端の表現を用いますが、普通の掛け算演算と混同される恐れが在る場合には中央あるいは右端の表現を用いる。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2法則 3 4 5 ) (2)外積が満たす代数的性質 前節で定義したベクトル演算について、次の代数法則が成り立つ。 [証明] (1)が成り立つことは外積の定義より明らか。 また(3)が成り立つことはベクトルのスカラー倍の意味と、外積の定義より明らか。 以下で(2)が成り立つことを証明する。 ベクトル A、 B、 Cを下記の様なものだとする。 今、上図の様な、ベクトル Bと Cを含みベクトル Aに平行な面を持つ 平行六面体の角柱OBDCAEGFを考える。 つまり が成り立つ。 [終わり] .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4成分表示 5 ) (4)外積の成分表示 前々節と前節の結論を用いれば、外積の成分表示が直ちに導かれる。 この関係式はとても重要です。 特に 剛体の力学を論じるとき必須の公式となります。 [] このとき、この成分表示で示されるベクトルの大きさが、実際にベクトル Aとベクトル Bが作る平行四辺形の面積である事は直ちに確認できる。 [] 上で説明した様にベクトル積 の大きさはベクトルAとベクトルBが作る平行四辺形の面積でした。 そのため上記の式とベクトル i との内積 は前述の平行四辺形をyz平面へ射影した図形の面積となります。 同様に は前述の平行四辺形をzx平面へ射影した図形の面積であり は前述の平行四辺形ををxy平面へ射影した図形の面積となります。 .( 1 2 3 4 5 ) 2.( 1 2 3 4 5応用 ) (5)応用 前節の成分表示を用いて、幾つかの重要な結論が導かれます。 つまり外積の演算の結合順序を変えると異なったベクトルとなる。 これは外積の定義に従って実際にベクトルを求めてみれば直ちに明らかになることです。 .平行六面体の体積 下記の様な三つのベクトル A、B、Cで構成される平行六面体の体積は直ちに求まる。 内積と外積の定義より の関係が成り立ちます。 これは行列式 に等しい。 ここでベクトル A、B、Cは互いに右手回りのサイクリックな関係になっていることに注意。 もし Cが Aと Bが作る平面に対して図の反対側にあれば、スカラー三重積の値は負になる。 [] 上記平行六面体の体積をVとすると、その2乗V 2は となる。 ところで、別ページで説明する行列式の性質[]と[]から (1)転置行列の行列式は元の行列の行列式の値と同じ。 (2)2つの行列の積を作り、その行列式の値を計算すると、それは元の2つの行列の行列式を計算して乗じたものに等しい。 が成り立つ。 そのため上記の関係は以下のように変形できる。 一般相対性理論ではV 2は基本計量テンソルg ijの行列式で表される。 このことについては別稿を参照されたし。 .スカラー三重積の性質 i、j、kを右手直交座標系の単位ベクトルとすれば、直ちに が言える。 次に、下記のいずれの表現も、同一の平行六面体の体積を示しているので、直ちにこれらの関係式が成り立つことが言える。 また、内積(スカラー積)の交換の法則を上式に適用すると が言える。 このときベクトル A、B、Cの順番はサイクリックに回さなければならないことに注意。 上記の二式と内積、外積の交換法則により、[ A,B,C]の任意の二つの順番を入れ替えると符号が変わることが解る。 このとき前項と前々項の結論を用いれば が成り立つ。 ここで A=C、 B=Dのときには が成り立つ。

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主成分分析

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ここでは短時間で復習できるように定義、定理の確認だけにしましたが、長いです。 直感的に理解できる人は、リンク先の練習問題で使い方を確認してください。 笑 (笑い事ではありませんね。 ごめんなさい。 ) 教科書の例題や練習問題レベルの問題解説もこのページに追加していきますのでたまに帰ってきてください。 笑笑 (他分野の例題等もそれぞれの「要点ページ」に追加していく予定にしています。 ) 平面ベクトルの演算 平面ベクトルと空間ベクトルを分けてまとめますが、 ベクトルを理解したければ空間までの基本的な確認が済んだ後にもう一度全体を見渡して下さい。 新しい表示方法になるので定義定理は多いです。 ただし、ポイントがそれほど多くあるわけではありません。 ベクトルとは ベクトルを定義するために有効線分という言葉を説明しておきます。 また、有効線分は、 始点、 向き、 長さを決めると定まります。 この3つの要素のうち、 向きと長さだけに注目し、 始点の違いを無視することでベクトルが定義できます。 1つの有効線分と向きも長さも等しい有効線分は、 ベクトルとしては、同じものを定めるものとする。 こう言うとわかりにくいのですが、大切なポイントなのです。 どういうことかというと、 向きと長さが同じ有効線分はたくさんありますが、 ベクトルで表すと1つ、だということです。 ここまでをまとめて『ベクトルの相等』といいますがややこしくなるので省略します。 笑 どこが大切なポイントかまだ分からないかもしれませんが、 『始点を一つに』 というベクトル問題を扱うときの重要な手順につながるのです。 ベクトルの演算 ベクトルが何か分ければ、 足し算や引き算や実数倍する計算は普通にやっても良いので簡単にまとめます。 ただ、面白い性質もありますが注意点もあるので必ず確認しておいてください。 ということです。 ゼロベクトルについて次の性質が成り立ちます。 ここで一つ重要な事実を強調しておきます。 そこで、一般的に成り立つ ベクトルの始点を変える方法を示しておきます。 これは必ず覚えておきましょう。 新しい始点から元の終点へのベクトルから 新しい始点から元の始点へのベクトルを引く と同じベクトルを表します。 この操作をすれば すべてのベクトルは始点を一つで表すことができます。 これは簡単なことですがベクトルを扱う上で非常に大切になりますよ。 位置ベクトルの説明でもう一度確認します。 次は実数倍ですが細かい説明は無しにして計算法則を示しておきます。 また、一般的に次のことがいえます。 これは忘れている人多くないですか? ベクトルの分解 ここは非常に大切で簡単にまとめられる部分ではないのですが、 教科書程度のまとめとしておきます。 すでに長くなっているのでもっと手短にまとめましょう。 ) 座標を利用します。 それぞれは軸の正の向きをもつ単位ベクトルです。 座標を考えるとこの二つの標準基底で座標上のすべての座標が表せます。 これを基本ベクトル表示といいます。 このことは今までの座標と同じ感覚でいいです。 座標上のどの二点間のベクトルも、 原点を始点のベクトルに換えることができるということですね。 成分表示されたベクトルの大きさ 大きさは別のところでもまとめていますが、 成分表示されたベクトルの大きさは二点間の距離と同じです。 中学数学で学んだ座標上の二点間の距離と同じです。 平面ベクトルの内積 内積の意味は考えなくて良いです。 ただし、注意点には目を通しておいてください。 笑 また、内積について次の性質も成り立ちます。 ここまで覚えていれば計算は大丈夫です。 問題を解くときの基本作業を書いておきました。 面積は図形との関係を見ながら進めた方が分かり易いので後回しでも良いですが、 全体を見渡せたら確認しておいてください。 やっとベクトルの便利さが分かるところまで来ました。 (平行移動してもベクトルは同じだからです。 このように、 基準点に対するベクトルを「位置ベクトル」といいます。 基準点はどこでも良いのですが、多くの場合原点にすると都合が良いです。 ある点に対し、基準点から対応させるベクトルが位置ベクトルだと分かれば必要ないですが定義としてまとめておきます。 定義を見るとややこしいので、 基準点(原点)を定めればすべての図形をベクトルを用いて固定して考えることができる、と考えておけば良いです。 基準点を定めることで位置ベクトルを利用して固定できる、ということです。 ベクトル方程式を見た後ならさらに納得できると思うので全体を見てからもう一度見ておいてください。 内分点と外分点の位置ベクトル 内分点と外分点の位置関係は図形と方程式や平面図形で確認しておきましょう。 (こんなことをやっているから長くなるんですよね。 (外分点の場合も同様にやってみてください。 笑 ベクトルの図形への応用 ここからは別に解説してあるのでリンク先で確認してください。 むしろ使えないと共通テストでも厳しいでしょう。 説明が雑になってない?と思ったあなた。 鋭い! でも、長くなりすぎて、めんどくさっ、、、と思っているわけではないですよ。 笑 この程度の復習にそれほど時間をかけなくても良いだろう、という効率化を考えているのです。 ベクトルによる図形表示 図形といっても直線や円がほとんどなので難しくはありません。 抽象的すぎて意味が分からないので、具体的に方程式を示しましょう。 平行移動して原点から離れた場合もベクトル方程式で表せます。 ただ、法線ベクトルを利用することも多いので両方使えると良いですね。 媒介変数を用いて表すことを(そのまま)媒介変数表示といいます。 上の式はベクトル形の媒介変数表示です。 これに成分を加えます。 これを成分による媒介変数表示といいます。 (普通に媒介変数表示といっているのはこっちです。 円の媒介変数表示も説明に加えておきたいところですが長くなりすぎたようです。 平面ベクトルの要点はここまでにします。 長くなりましたが以上です。 空間ベクトルを分けました。 成分が1つ増えるだけなので、別分野と考えるよりは理解が深まります。 ここを掘り下げると直線の方程式から説明することになる(したくなる?)ので、 その項目だけでも平面ベクトル程度では済まないくらい長くなります。 なので、手を出さないようにします。 確率の問題でよく見る玉を同時に取り出す問題の説明をします。 ここで注意するのは同じ色の玉がある場合ですが、あつかいかたを間違えなければそれほど多くの考え方を必... 対数の計算公式を一覧にしておきます。 底の変換と真数の掛け算割り算を変形できれば計算問題は解けますので、方針さえ固定してしまえばそれほど難しいところではありま... 極大値や極小値などの極値は関数によっては必ず存在するわけではありません。 極値を持つ条件と極値を持たない条件が良く聞かれるので説明しておきます。 極値とはど... ベクトルの大きさを求めることと、線分の長さを求めることは同じことといっても良いですが、 ベクトルの内積を利用する際の求め方でやってはいけない注意点とともに基本...

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ベクトルの成分表示をわかりやすく解説!その意味と足し算,引き算

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定義0. 1 n個の Kの元を縦に並べたものを n次列ベクトルとよび、次のように括弧でかこんだ中にn個の縦に並べた Kの元を書く。 定義0. 相等関係 [ ] 定義0. 定義0. 定理0. 定義0. 定理0. まずは、二次元空間上の直線を、助変数を用いて現すことを考える。 成分を用いた式を見れば、この表示によって直線が表されることの妥当性が理解しやすいだろう。 上に挙げた式を直線の助変数表示またはベクトル表示という。 また、 aをこの直線の方向ベクトルという。 方向ベクトルはこの直線と平行なベクトルである。 もちろん助変数表示の仕方は一つではないが、方向ベクトルはノルム1のものを選ぶと便利な事も多い。 5 2. 直線は2つの平行でない平面の共通部分として表される。 この式が表す直線をベクトル表示することを考えよう。 この式は、形式的にはxをtと置き換えることで、下のように書ける。 これを平面の助変数表示という。 まとめ [ ] 1. これを証明せよ。 これを証明せよ。 この aをこの直線の 法線ベクトル(normal vector)という。 平面内の1点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。 この垂線の長さを求めよう。 pをPの位置ベクトル、 x 0をP'の位置ベクトルとすると、垂線の長さは p- x 0 で与えられる。 まずは x 0を他のベクトルを用いて表そう。 あとは自分自身との内積を計算するだけである。 空間内の直線についても、同じ事である。 演習 1. 空間内の平面の場合についても同様に考えられる。 この時 aをF 0の法線ベクトルと言う。 さて、F上に無い点Pから、Fに垂線を下ろす。 垂線の足をP'とする。 x 0:Pの位置ベクトル, x' 0:P'の位置ベクトル とするとき、 x 0- x' 0 を求めよ。 外積 [ ] 二次の行列式 [ ] 定義 7. 次の性質は簡単に証明できる。 平行四辺形の面積 [ ] 関係ないと思うかもしれないが、外積の定義に必要な情報である。 aと bの張る平行四辺形の面積を求める。 これを証明せよ。 外積 [ ] 内積が有るなら外積もあるのでは?と思った読者待望の部ではないだろうか。 (余談) 定義 7. i a, bと直交する。 ii a, bは線形独立 iii a, b, cは右手系をなす。 iv c が平行四辺形の面積 ここで、右手系とは、R 3の単位ベクトル e 1〜3が各々右手の親指、人差指、中指の上にある三次元座標系のことである。 定理 7. 2 証明 三段構成でいく。 i cと、 aと bと直交することを示す。 ii c が平行四辺形の面積Sであることをを証明。 iii c, a, bが、右手座標系であることを証明。 i は計算するだけなので演習とする。 2 は両辺とも e 3である。 e 1, e 2を、線形独立性を崩さずに移すと、 a, b, cは右手系のまま移る。 # 外積に関して、次の性質が成り立つ。 二次の時と同様、• a, b, cのどれか二つの順序を交換すればdet a, b, c の符号は変わる。 絶対値は変わらない。 例題 次の二直線は捩れの位置(同一平面上にない関係 にある。 4 7. 3 , 7. 4 をt,sに関する連立一次方程式だと考えると、この方程式は、ちょうど一つの解の組 t 0,s 0 が存在する。 この線分P 0Q 0の長さは、l,l'間の最短距離である。 多面体Pの二頂点を結ぶ線分上の全ての点がやはりPに含まれる時、Pは凸多面体と呼ばれる。 これを示せ。 このページで述べるベクトルの代数学的説明はここまでである。 このまま、代数学の学習を続けたい読者は次に、を読まれる事を勧める。 今までの内容と、密接に関係している。 もし、ベクトルの解析的扱いについて学習したい場合は、このページの次の章に進まれるとよい。 参考文献:東京大学出版会 『基礎数学1 線型代数入門』齊藤正彦著 ベクトル関数 [ ] 補足 [ ] 線型代数学でいう「空間」や「次元」は、物理的な意味の「空間」や「次元」のうち、一部の性質だけを取り出して定義した抽象的な概念である。 したがって、大枠では類似しているが、物理的なイメージばかりを気にしすぎると細部の印象が異なることがある。 たとえば、物理においてしばしば「空間3次元、時間1次元、合わせて4次元の線型空間である時空」を考えるが、数学的な意味での4次元線型空間は空間と時間という意味合いを持ってはおらず、単に一次独立なベクトルが4本取れるというだけの意味である。 4次元線型空間の中でさらに特殊な性質を仮定したものを「ミンコフスキー空間」といい、これはただの4次元線型空間よりもより4次元時空の性質を反映したモデルだが、それでも数学的なモデルに過ぎないことに変わりはない。 一般に数学的な概念は、その定義を作る際には物理などのイメージを元に概念を作ることが多いが、ひとたび定義されたあとはそのイメージから離れて定義のみを基に議論を進めることができる。 これが数学を発展させる原動力であり、また数学が汎用的に役に立つ理由である。 しかし、数学の持つこのような特性は、初学者にとってはわかりにくく感じられるだろう。 以上で述べたことは線型代数学に限った話ではないが、抽象的な数学理論に初めて本格的に触れるのが線型代数学という学生も多いだろうから、ここで述べておく。

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